\begin{section}{Introducci\'on Te\'orica}
\paragraph{}
\textbf{Normas Matriciales}
$||\bullet||$ : $\real^{nxm} \mapsto \real$ es una norma matricial si cumple que: 
	\begin{enumerate}
		\item $||x|| \geq 0$ $\forall x \in \real^{nxm}$ y $||x|| = 0 \leftrightarrow x = 0, x \in \real^{nxm}$
		\item $||\lambda.x|| = |\lambda|.||x||$ $\forall \lambda \in \real, x \in \real^{nxm}$
		\item $||x + y|| \leq ||x|| + ||y||$ $\forall x,y \in \real^{nxm}$ (Desigualdad triangular)
	\end{enumerate}
	Si adem\'as vale que: \par
	$||x.y|| \leq ||x||.||y||$ $\forall x,y \in \real^{nxm}$ (Submultiplicidad) entonces la norma es consistente.
	
\paragraph{}
\textbf{Número de condicion}
Se define el n\'umero de condici\'on de $A$ como $K(A)_p = ||A||_p ||A^{-1}||_p$.

\paragraph{}
\textbf{Sistemas de Ecuaciones}
\par
Dada una aplicaci\'on $f: \real^m \mapsto \real^n$ y un vector $b$ $\in$ $\real^n$, resolver el sistema de ecuaciones $f(x) = b$ no es m\'as que buscar el conjunto de vectores de $\real^m$ cuya imagen mediante $f$ es el vector $b$, es decir, buscar la imagen inversa de $b$ mediante $f$.
\par Un sistema de ecuaciones se dice lineal si verifica que:

\begin{center} 
$\begin{array}{rcl}
    a_{11}.x_1 + a_{11}.x_2 + a_{13}.x_3 + \ldots + a_{1n}.x_n & = & b_1 \\ 
    a_{21}.x_1 + a_{22}.x_2 + a_{23}.x_3 + \ldots + a_{2n}.x_n & = & b_2 \\
    \vdots \\ 
    a_{m1}.x_1 + a_{m2}.x_2 + a_{m3}.x_3 + \ldots + a_{mn}.x_n & = & b_m
\end{array}$ 
\end{center}

\paragraph{}
donde los $a_{ij}$ son los coeficientes, los $x_i$ las inc\'ognitas y los $b_j$ los términos independientes.
Resolver el sistema consiste en calcular las incógnitas para que se cumplan todas las ecuaciones.

\paragraph{}
\textbf{Expresi\'on Matricial de un sistemas}
\par
Cualquier sistema de ecuaciones lineales de la forma vista en el punto anterior, se puede expresar en matricialmente del modo:
$Ax = b$ donde $A \in \real^{mxn}, \; x \in \real^{n}, \; b \in \real^{m}$.
\begin{center}
$\displaystyle 
A = 
\begin{pmatrix} 
a_{11} & a_{12} & a_{13} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & \ldots & a_{2n} \\ 
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \ddots & a_{mn} 
\end{pmatrix}
\qquad x = 
\begin{pmatrix} 
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}
\end{pmatrix}
\qquad b = 
\begin{pmatrix} 
b_{1} \\
b_{2} \\
\vdots \\
b_{m}
\end{pmatrix}
$
\end{center}


\paragraph{}
\textbf{Eliminaci\'on Gaussiana}
\par
Un m\'etodo para resolver sistemas de ecuaciones lineales es el m\'etodo de eliminaci\'on de Gauss. 
La idea es manipular las ecucaciones por medio de operaciones elementales para transformar el sistema original en un sistema equivalente que sea m\'as sencillo de resolver (sistema triangular). En este caso se operar\'a con funciones de $\real^m \mapsto \real^n$, es decir, tales que el sistema matricial resulte con una matr\'iz $A$ cuadrada.
\par
Las operaciones elementales en la eliminaci\'on de Gauss son tres:
\begin{enumerate}
    \item Multiplicaci\'on de una ecuación por una constante no nula.
    \item Sustracción del m\'ultiplo de otra ecuaci\'on a la ecuaci\'on en cuesti\'on.
    \item Intercambio de ecuaciones.
\end{enumerate}
Estas mismas operaciones elementales pueden traducirse a la forma matricial, realizando en este caso operaciones sobre las filas de las matrices.

\begin{center}
$\begin{array}{rcl}
     a_{11}.x_1 + a_{11}.x_2 + a_{13}.x_3 + \ldots  + a_{1n}.x_n & = & b_1
  \\ a_{21}.x_1 + a_{22}.x_2 + a_{23}.x_3 + \ldots + a_{2n}.x_n & = & b_2
  \\                             \vdots & \vdots & \vdots                          
  \\ a_{n1}.x_1 + a_{n2}.x_2 + a_{n3}.x_3 + \ldots + a_{nn}.x_n & = & b_n
\end{array}$
\end{center}

\par Este es el sistema $A^{(1)}x$ $=$ $b^{(1)}$. Los supra\'indices se utilizan para indicar el estado del sistema, en este caso es el inical.

\paragraph{}
\textbf{Primer paso de eliminaci\'on}
Si $\displaystyle a_{11}^{(1)} \neq 0$, se puede eliminar la inc\'ognita $x_1$ de las dem\'as ecuaciones. El paso t\'ipico es restar de la $i$-\'esima ecuación ($i = 2, 3, \dots, n$) la primera multiplicada por
\begin{equation}
m_{i1} =  a_{i1}^{(1)} / a_{11}^{(1)}  \quad \forall \; i \quad i = 2, 3, \dots, n
\end{equation}

Luego de estas restas, la $i$-\'esima ecuaci\'on tendr\'a nuevos coeficiente $a_{ij}^{(2)}$ y $b_{i}^{(2)}$ cuyos valores son:
\begin{align}
a_{i1}^{(2)} &= 0 \quad \forall \; i \quad i = 2, 3, \dots, n \\
a_{ij}^{(2)} &= a_{ij}^{(1)} - m_{i1} . a_{1j}^{(1)} \quad \forall \; i, j \quad i,j = 2, 3, \dots, n\\
b_{i}^{(2)} &= b_{i}^{(1)} - m_{i1} . b_{1}^{(1)} \quad \forall \; i \quad i = 2, 3, \dots, n
\end{align}

Se obtiene entonces el nuevo sistema $A^{(2)}x$ $=$ $b^{(2)}$

\begin{center}
$\begin{array}{rcl}
     a_{11}^{(1)}.x_1 + a_{12}^{(1)}.x_2 +  \ldots  + a_{1n}^{(1)}.x_n & = & b_1^{(1)} \\
                        a_{22}^{(2)}.x_2 +  \ldots  + a_{2n}^{(2)}.x_n & = & b_2^{(2)} \\
                            \vdots  & \vdots & \vdots \\
                        a_{n2}^{(2)}.x_2 +  \ldots + a_{nn}^{(2)}.x_n & = & b_n^{(2)}
\end{array}$
\end{center}

\paragraph{}
\textbf{Segundo paso de eliminación}
En este paso el objetivo es eliminar la inc\'ognita $x_2$ de la tercera a la \'ultima ecuación. Si $a_{22}$ $\neq$ $0$, se resta de la $i$-\'esima ecuación ($i = 3, \dots, n$) la segunda multiplicada por
\begin{equation}
m_{i2} =  a_{i2}^{(2)} / a_{22}^{(2)}  \quad \forall \; i \quad i = 3, \dots, n
\end{equation}

Los nuevos coeficientes $a_{ij}^{(3)}$ y $n_{i}^{(3)}$ de la $i$-ésima ecuación serán
\begin{align}
a_{i2}^{(3)} &= 0 \quad \forall \; i \quad i = 3, \dots, n \\
a_{ij}^{(3)} &= a_{ij}^{(2)} - m_{i2} . a_{2j}^{(2)} \quad \forall \; i, j \quad i,j = 3, \dots, n\\
b_{i}^{(3)} &= b_{i}^{(2)} - m_{i2} . b_{2}^{(2)} \quad \forall \; i \quad i = 3, \dots, n
\end{align}

Se obtiene entonces el nuevo sistema $A^{(3)}x$ $=$ $b^{(3)}$

\paragraph{}
\textbf{Siguientes pasos de eliminaci\'on}
Repitiendo lo anterior, se van obteniendo los sistemas \\$A^{(i)}x$ = $b^{(i)}$ y cuando $i = n$ (es decir despu\'es de $n-1$ pasos de eliminaci\'on) se obtiene un sistema triangular superior.

\begin{center}
$
\displaystyle
\begin{array}{rcl}
a_{11}^{(1)}.x_1 + a_{12}^{(1)}.x_2 + a_{13}^{(1)}.x_3 +  \ldots  + a_{1n}^{(1)}.x_n & = & b_1^{(1)} \\
                    a_{22}^{(2)}.x_2 + a_{23}^{(2)}.x_3 +  \ldots  + a_{2n}^{(2)}.x_n & = & b_2^{(2)} \\
                                      + a_{33}^{(3)}.x_3 +  \ldots  + a_{3n}^{(3)}.x_n & = & b_3^{(3)} \\
                                            \ddots & \vdots & \vdots \\
                                                                        a_{nn}^{(n)}.x_n & = & b_n^{(n)}
\end{array} $
\end{center}

El proceso de eliminaci\'on termina sin problemas siempre que ninguno de los pivotes $a_{11}^{(1)}$, $a_{22}^{(2)}$, \dots , $a_{nn}^{(n)}$ sea cero. 
Este sistema triangular superior $Ux$ = $b$ (donde $U$ = $A^{(n)}$, $b$ = $b^{(n)}$ ) equivalente al sistema original. Sin embargo, este nuevo sistema puede resolverse muy fácilmente por medio de la técnica de sustitución hacia atrás (backward substitution):

\begin{align}
x_n &= \displaystyle \frac{b_n}{a_{nn}} \\
x_i &= \displaystyle \frac{b_i - \displaystyle \sum^{n}_{\substack{k=i+1}} a_{ij}x_j}{a_{ii}}, \quad \forall \; i \quad i = n-1, n-2 \dots, 1
\end{align}

%~ \newpage
\paragraph{}
\textbf{Pivoteo}
\paragraph{}
El m\'etodo de eliminaci\'on de Gauss (factorizaci\'on LU siempre) no es un m\'etodo estable para resolver el sistema. No toda matr\'iz tiene descomposici\'on LU, y esto puede traer problemas al resolver el sistema suponiendo que s\'i (divisi\'on por cero). En el caso en el que la matr\'iz s\'i tenga descomposici\'on LU, es un m\'etodo inestable igual porque pueden aparecer situaciones en las que se est\'e dividiendo por n\'umeros poco convenientes (por el pivote utilizado en cada paso). Existen estrategias de pivoteo que tienen a reducir la inestabilidad num\'erica. 

\paragraph{}
Una estrategia de pivoteo, es el pivoteo parcial. Esta t\'ecnica consiste en elegir en cada paso como pivote el elemento de la columna que resulte mayor en m\'odulo.

\begin{enumerate}    
    \item Para cada columna $j$ 
    \begin{enumerate}
        \item Elegir como pivote el elemento de la columna que sea mayor en m\'odulo.\\
        pivote[$j$] $=$ $p$ $=$ $\displaystyle \max_{i = j, \dots, n}{\displaystyle |a_{ij}|}$
        \item Intercambiar fila $j$ con fila $p$ en la matr\'iz $A$.
        \item Intercambiar fila $j$ con fila $p$ en $b$.
        \item Realizar el paso de eliminaci\'on gaussiana normalmente ahora que el pivote deseado esta ubicado en $A[j][j]$.
    \end{enumerate}    
\end{enumerate}

\end{section}
